تعتبر الدوائر من أهم الأشكال الهندسية، وتظهر في العديد من التطبيقات اليومية. فهم خصائص الدائرة، مثل طول القوس، أمر ضروري في مجالات متنوعة كالهندسة المعمارية، والملاحة، وحتى في تصميم الألعاب. يمثل طول القوس جزءًا من محيط الدائرة، وتعتمد قيمته على الزاوية المركزية المقابلة له ونصف قطر الدائرة. في هذا المقال، سنتناول طرق حساب طول قوس الدائرة بالتفصيل، مع أمثلة عملية لتوضيح الفكرة. طريقة حساب طول قوس الدائرة تعتمد طريقة حساب طول قوس الدائرة على المعطيات المتوفرة لديك، سواء كانت الزاوية المركزية معطاة بالراديان أو بالدرجات. إليك الصيغ الرياضية المستخدمة: عندما تُعطى الزاوية بالراديان إذا كانت الزاوية المركزية (θ) معطاة بالراديان، يمكنك استخدام الصيغة التالية لحساب طول القوس: طول القوس = نق × θ حيث: نق: نصف قطر الدائرة، وهو المسافة من مركز الدائرة إلى أي نقطة على محيطها. θ: الزاوية المركزية المقابلة للقوس، ويجب أن تكون مقاسة بالراديان. تذكر أن 360 درجة = 2π راديان. π: الثابت باي، وقيمته التقريبية تساوي 3.14. عندما تُعطى الزاوية بالدرجات إذا كانت الزاوية المركزية (θ) معطاة بالدرجات، يمكنك استخدام الصيغة التالية لحساب طول القوس: طول القوس = (2 × π × نق × θ) / 360 حيث: نق: نصف قطر الدائرة. θ: الزاوية المركزية المقابلة للقوس، ويجب أن تكون مقاسة بالدرجات. π: الثابت باي، وقيمته التقريبية تساوي 3.14. أمثلة متنوعة على حساب طول قوس الدائرة لتوضيح كيفية تطبيق هذه الصيغ، إليك بعض الأمثلة المتنوعة: حساب طول قوس الدائرة باستخدام الزاوية بالدرجات المثال الأول: احسب طول القوس المقابل للزاوية المركزية 40 درجة في دائرة نصف قطرها 8 سم. الحل: باستخدام قانون طول القوس: طول القوس = (2 × π × θ × نق) / 360 = (2 × 3.14 × 40 × 8) / 360. ومنه، طول القوس = 5.58 سم. المثال الثاني: احسب طول القوس أب المقابل للزاوية المركزية 45 درجة في دائرة نصف قطرها 12 وحدة. الحل: باستخدام قانون طول القوس: طول القوس = (2 × π × θ × نق) / 360 = (2 × 3.14 × 45 × 12) / 360. ومنه، طول القوس = 9.42 وحدة. المثال الثالث: إذا كان طول القوس المقابل للزاوية المركزية يساوي 4 سم، جد قياس هذه الزاوية بالدرجات إذا كان نصف قطر الدائرة 5 سم. الحل: باستخدام قانون طول القوس: 4 = (2 × 3.14 × 5 × θ) / 360. ومنه، θ = 45.85 درجة. المثال الرابع: إذا تقاطع القطر أج مع القطر ب د في النقطة ي، وكان قياس الزاوية أي د 150 درجة، جد مجموع طولي القوسين دج وأب إذا كان طول نصف قطر الدائرة 12 سم. الحل: أولاً، يجب حساب قياس الزاوية المركزية ج ي د المقابلة للقوس ج د، والتي تتساوى في قياسها مع الزاوية المركزية ب ي أ. عن طريق طرح قيمة الزاوية أي د من 180 درجة؛ حيث الزاوية أي د تقع على استقامة واحدة مع الزاوية ج ي د. ومنه قياس الزاوية ج ي د = 180 - 150 = 30 درجة. ثانياً، استخدام قانون طول القوس: طول القوس = (2 × π × θ × نق) / 360. لينتج أن طول القوس أب = طول القوس دج = (2 × 3.14 × 12 × 30) / 360. ومنه طول القوس أب = طول القوس دج = 6.28 سم. حساب مجموع طول القوسين أب وج د. لينتج أن: طول القوس أب + طول القوس ج د = 6.28 + 6.28 = 12.56 سم. المثال الخامس: إذا كان محيط الدائرة يساوي 54 سم، جد طول القوس أب إذا كان قياس الزاوية المركزية المقابلة له 120 درجة. الحل: محيط الدائرة = 2 × π × نق = 54. وباستخدام قانون طول القوس: طول القوس = (2 × π × θ × نق) / 360. وتعويض قيمة 54 = 2 × π × نق فيه ينتج أن: طول القوس = (54 × 120) / 360 = 18 سم. المثال السادس: إذا كان طول القوس المقابل للزاوية المركزية يساوي 44 سم، جد قياس هذه الزاوية بالدرجات إذا كان نصف قطر الدائرة 15.28 سم. الحل: باستخدام قانون طول القوس: 44 = (2 × 3.14 × 15.28 × θ) / 360. ومنه، θ = 165 درجة. المثال السابع: إذا كان طول القوس المقابل للزاوية المركزية يساوي 10.5 سم، جد قياس نصف قطر الدائرة إذا كان قياس الزاوية المركزية المقابلة للقوس 150 درجة. الحل: باستخدام قانون طول القوس: 10.5 = (2 × 3.14 × نق × 150) / 360. ومنه، نق = 4 سم. المثال الثامن: إذا كان طول قطر الدائرة 40 سم، وكان طول الوتر (ب ج) فيها 20 سم، جد قياس القوس الأصغر (ب ج) المقابل للوتر (ب ج)، إذا كان مركز الدائرة هو أ. الحل: أولاً: يتطلب حل هذا السؤال حساب قياس الزاوية المركزية (ب أ ج) المقابلة للوتر والقوس (ب ج). وهو الأمر الذي يتطلب رسم القطعة المستقيمة أب والقطعة أج، ليتكوّن لدينا المثلث (أب ج)؛ الذي فيه الضلع أب = أج = 40 / 2 = 20 سم، حيث يشكل من أب وأج نصف قطر للدائرة. والضلع ب ج = 20؛ حسب معطيات السؤال. ثانياً: يتضح مما سبق أن المثلث أب ج هو مثلث متساوي الأضلاع، فيه قياس كل زاوية 60 درجة حسب خصائص المثلث متساوي الأضلاع. وبما أن الزاوية (ب أ ج) تشكل إحدى زوايا هذا المثلث فإن قياسها = 60 درجة. ثالثاً: باستخدام القانون: طول القوس = (2 × π × θ × نق) / 360. ينتج أن طول القوس (ب ج) = (2 × 3.14 × 60 × 20) / 360 = 20.9 سم. المثال التاسع: إذا كان طول القوس أب في الدائرة الأولى يساوي طول القوس دو في الدائرة الثانية، وكان قياس الزاوية المركزية المقابلة للقوس أب يساوي 60 درجة، أما قياس الزاوية المركزية المقابلة للقوس دو فيساوي 75 درجة، جد النسبة بين نصفي قطري الدائرتين. الحل: باستخدام القانون: طول القوس = (2 × π × θ × نق) / 360. ينتج أن: طول القوس أب = (2 × 3.14 × 60 × نق1) / 360. طول القوس دو = (2 × 3.14 × 75 × نق2) / 360. من خلال معرفة حقيقة أن طول القوس أب = طول القوس دو ينتج أن: (2 × 3.14 × 60 × نق1) / 360 = (2 × 3.14 × 75 × نق2) / 360. ومنه، نق1 / نق2 = 75 / 60 = 5 / 4 = 1.25، وهي النسبة بين نصفي قطري الدائرتين. حساب طول قوس الدائرة باستخدام الزاوية بالراديان المثال الأول: احسب طول القوس المقابل للزاوية المركزية (7π/4) راديان في دائرة نصف قطرها 20 سم. الحل: باستخدام قانون طول القوس: طول القوس = نق × θ طول القوس = (7π/4) × 20 = 35π سم. المثال الثاني: احسب طول القوس المقابل للزاوية المركزية إذا كان قياسها (2.094) راديان في دائرة نصف قطرها 5 سم. الحل: باستخدام قانون طول القوس: طول القوس = نق × θ طول القوس = 5 × 2.094 = 10.47 سم. المثال الثالث: احسب قياس الزاوية المركزية المقابلة للقوس أب الذي يبلغ طوله 2 متر، إذا كان قياس نصف قطر الدائرة 5 متر. الحل: باستخدام قانون طول القوس: 2 = 5 × θ. ومنه قياس الزاوية المركزية = 0.4 راديان. لتحويلها لدرجات: باستخدام قانون طول القوس= (2×π×θ×نق)/360. ينتج أن قياس هذه الزاوية بالدرجات: 2=2×3.14×5× (θ/360). ومنه قياس الزاوية المركزية=22.92 درجة. المثال الرابع: إذا كانت المسافة المقطوعة من قبل البندول عند وصوله إلى النقطة ب تساوي 10 سم من نقطة انطلاقه، وكانت حركته ضمن دائرة نصف قطرها 75 سم، جد زاوية ميلان البندول عن نقطة البداية عند تلك النقطة. الحل: باستخدام القانون: طول القوس = نق × θ. ينتج أن 10 = 75 × θ. ومنه زاوية ميلان البندول عند النقطة ب = 0.133 راديان. الخلاصة في هذا المقال، تعرفنا على كيفية حساب طول قوس الدائرة باستخدام الزاوية المركزية بالراديان والدرجات. كما استعرضنا أمثلة متنوعة لتوضيح كيفية تطبيق هذه القوانين في مسائل عملية. فهم هذه المفاهيم يساعد في حل العديد من المشكلات الهندسية والتطبيقية المتعلقة بالدوائر. .